Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) \tan (x) (1 + \sec (x)) d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$0 + \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + \sec (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sec (0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + \sec (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sec (\frac{π}{3})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{3} u d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{3}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $3$ и в $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Этап 3.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Этап 3.2.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{9}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.5

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 3.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 3.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} + \frac{- 2}{1}$

Этап 3.2.6.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{9}{2} - 2$

Этап 3.2.7

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.8

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{9 - 4}{2}$

Этап 3.2.10.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$2.5$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{2}$