Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \cos (4 t)$ . Тогда $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \cos (4 t)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 t$ .

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.1.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 \sin (4 t)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Этап 1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 1.5.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Этап 2.2

Объединим $3^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 5

Интеграл $3^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

Этап 6

Объединим $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ в $0$ и в $1$ .

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Этап 7.2.2

Найдем экспоненту.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

Этап 7.2.4

Вычтем $3$ из $1$ .

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

Этап 7.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

Этап 7.2.6

Перепишем $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ в виде произведения.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 7.2.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

Этап 7.2.8

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

Этап 7.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \ln (3)$ .

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

Этап 7.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

Этап 7.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

Этап 7.2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

Этап 7.2.10

Умножим $\frac{1}{2 \ln (3)}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Десятичная форма:

$0.45511961 \dots$