Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Этап 4.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Этап 4.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $u]_{0}^{1}$ и $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $u + \frac{u^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

Этап 9.2.6

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 9.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

Этап 9.2.7

Добавим $0$ и $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

Этап 9.2.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

Этап 9.2.9

Добавим $\frac{4}{3}$ и $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

Этап 9.2.10

Объединим $5$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Этап 9.2.11

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20}{3}$

Десятичная форма:

$6.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$6 \frac{2}{3}$