Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 (\frac{1}{3} - 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 (\frac{1}{3} + 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$5 (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.6

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.8

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.9

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.10

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 6.3.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 6.3.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 6.3.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Этап 6.3.13

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Этап 6.3.14

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0$

Этап 6.3.15

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 6.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 + 2}{3}$

Этап 6.3.17

Добавим $5$ и $2$ .

$\frac{7}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{3}$

Этап 8