Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2} - \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7 - 1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.5

Вычтем $1$ из $7$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{6}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{3}{1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.6.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5 - 1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.9

Вычтем $1$ из $5$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{4}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2}{1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

Этап 4.13

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 4.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 4.14.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{1} d x$

Этап 4.15

Упростим.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Этап 6

Поскольку $52$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $52$ из-под знака интеграла.

$52 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$52 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Этап 9

Поскольку $- 66$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 66$ из-под знака интеграла.

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Этап 12

Поскольку $22$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $22$ из-под знака интеграла.

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 \int_{0}^{1} x d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 14.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$52 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 14.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 14.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$52 (\frac{1}{4} - 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$52 (\frac{1}{4} + 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.5

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$52 (\frac{1}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.6

Объединим $52$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{52}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.7

Сократим общий множитель $52$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.7.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4 (1)} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.7.2.4

Разделим $13$ на $1$ .

$13 - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.8

Единица в любой степени равна единице.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} + 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.12

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.13

Объединим $- 66$ и $\frac{1}{3}$ .

$13 + \frac{- 66}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.14

Сократим общий множитель $- 66$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $- 66$ .

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 (1)} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 \cdot 1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$13 + \frac{- 22}{1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.14.2.4

Разделим $- 22$ на $1$ .

$13 - 22 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.15

Вычтем $22$ из $13$ .

$- 9 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.16

Единица в любой степени равна единице.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 14.2.4.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 14.2.4.18

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.18.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 14.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 14.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 14.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 14.2.4.18.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 14.2.4.19

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 14.2.4.20

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2})$

Этап 14.2.4.21

Объединим $22$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 9 + \frac{22}{2}$

Этап 14.2.4.22

Сократим общий множитель $22$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.22.1

Вынесем множитель $2$ из $22$ .

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2}$

Этап 14.2.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 (1)}$

Этап 14.2.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 1}$

Этап 14.2.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$- 9 + \frac{11}{1}$

Этап 14.2.4.22.2.4

Разделим $11$ на $1$ .

$- 9 + 11$

Этап 14.2.4.23

Добавим $- 9$ и $11$ .

$2$

Этап 15