Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + x$ . Тогда $d u = (2 x + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2.4

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 4.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Этап 4.2.7

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Этап 4.2.8

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0$

Этап 4.2.9

Добавим $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ и $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Десятичная форма:

$1.88561808 \dots$

Этап 6