Математический анализ Примеры

$\int \frac{x + 1}{x^{3}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (x + 1) x^{- 3} d x$

Этап 2

Умножим $(x + 1) x^{- 3}$ .

$\int x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.1.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.2

Умножим $x^{- 3}$ на $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int x^{- 3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Этап 7

Упростим.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$