Математический анализ Примеры

$\int x^{3} \sqrt{x - 4} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{3}$ и $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x^{3} (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{3} \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3} \cdot 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3} \cdot 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 3}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{6}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = x - 4$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = x - 4$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(u_{1} + 4)}^{2} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = u_{1} + 4$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 4$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 4$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Этап 6.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $4$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7

Пусть $u_{3} = u_{2} - 4$ . Тогда $d u_{3} = d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{3} = u_{2} - 4$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $u_{2} - 4$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Этап 7.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $- 4$ относительно $u_{2}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(u_{3} + 4)}^{2} d u_{3}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем ${(u_{3} + 4)}^{2}$ в виде $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((u_{3} + 4) (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} (u_{3} + 4) + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Этап 8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Этап 8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Этап 8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3} + 4 \cdot 4) d u_{3}$

Этап 8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (u_{3} \cdot 4) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Этап 8.8

Изменим порядок $u_{3}$ и $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Этап 8.9

Изменим порядок ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 u_{3}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Этап 8.10

Изменим порядок ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot u_{3} + 4 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (4 \cdot 4) d u_{3}$

Этап 8.11

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

Этап 8.12

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.14

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.16

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.17

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} {u_{3}}^{1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.19

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{5 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.21

Добавим $5$ и $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.22

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.24

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.26

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.27

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}) + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.29

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.31

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.32

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.33

Добавим $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ и $4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 8.34

Изменим порядок $8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ и $16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3}$

Этап 8.35

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (\int 16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Этап 10

Поскольку $16$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Этап 12

Объединим $\frac{2}{5}$ и ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Этап 13

Поскольку $8$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Этап 14

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Этап 15

Объединим $\frac{2}{7}$ и ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3})$

Этап 16

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C)$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим $\frac{2}{9}$ и ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 (16 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C)$

Этап 17.2

Упростим.

$\frac{2}{3} x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.2

Объединим $\frac{2 x^{3}}{3}$ и ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (16 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.3

Объединим $16$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{16 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.4

Умножим $16$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 8 (\frac{2}{7}) {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{8 \cdot 2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.6

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.7

Объединим $\frac{32}{5}$ и ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.8

Объединим $\frac{16}{7}$ и ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}) + C$

Этап 17.3.9

Объединим $\frac{2}{9}$ и ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) + C$

Этап 17.3.10

Чтобы записать $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Этап 17.3.11

Объединим $- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 17.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 17.3.13

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $u_{2} - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{2} - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{2} - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{16 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}}}{9})}{3} + C$

Этап 19

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} (2 x^{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 6 (\frac{32}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{7} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{9} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{9}{2}})) + C$