Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}}$ и $\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2})) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Этап 5.2.2.3

Умножим $0$ на $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 + \sin (0))$

Этап 5.2.2.4

Добавим $0$ и $\sin (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Этап 5.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - \sin (0)$

Этап 5.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - 0$

Этап 5.3.4

Умножим $π$ на $0$ .

$- \frac{0}{2} + 1 - 0$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{2 (0)}{2} + 1 - 0$

Этап 5.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Этап 5.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Этап 5.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{0}{1} + 1 - 0$

Этап 5.3.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 0 + 1 - 0$

Этап 5.3.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 1 - 0$

Этап 5.3.7

Добавим $0$ и $1$ .

$1 - 0$

Этап 5.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$1$