Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (14 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 14 x$ . Тогда $d u = 14 d x$ , следовательно $\frac{1}{14} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 14 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [14 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $14$ на $1$ .

$14$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 14 x$ .

$u_{lower} = 14 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $14$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 14 x$ .

$u_{upper} = 14 \frac{π}{2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$u_{upper} = 2 (7) \frac{π}{2}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \cdot 7 \frac{π}{2}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 7 π$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{7 π} \cos (u) \frac{1}{14} d u$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{14}$ .

$\int_{0}^{7 π} \frac{\cos (u)}{14} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{14}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{14}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{14} \int_{0}^{7 π} \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{14} \sin (u)]_{0}^{7 π}$

Этап 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $7 π$ и в $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - \sin (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - 0)$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) + 0)$

Этап 6.3

Добавим $\sin (7 π)$ и $0$ .

$\frac{1}{14} \sin (7 π)$

Этап 6.4

Объединим $\frac{1}{14}$ и $\sin (7 π)$ .

$\frac{\sin (7 π)}{14}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\sin (π)}{14}$

Этап 7.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sin (0)}{14}$

Этап 7.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{14}$

Этап 7.2

Разделим $0$ на $14$ .

$0$