Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 5

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Этап 8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $t$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Этап 9.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $π$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Этап 9.3

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Этап 10.3

Добавим $\sin (π)$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Этап 10.4

Объединим $\sin (π)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Этап 11.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 11.2

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

Этап 11.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 11.4

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 11.5

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 11.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{4}$

Десятичная форма:

$0.78539816 \dots$