Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \cos (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Этап 1.5.1.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Этап 1.5.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 2.2

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ в $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и в $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.2

Объединим.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.3

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.4

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.5.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Этап 7.1.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

Этап 7.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

Этап 7.5

Вычтем $4$ из $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

Этап 7.7

Умножим $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

Этап 7.7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 7.7.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

Этап 7.7.4

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{16}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{16}$

Десятичная форма:

$0.0625$