Математический анализ Примеры

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим $y^{2} + 2 y - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 1.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{y - 1}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(y - 1) (y + 3)$ .

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $y - 2$ на $1$ .

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (y + 3)$ на $1$ .

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим $(B) (y - 1)$ на $1$ .

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

Этап 1.1.7.6

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

Этап 1.1.7.7

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

Этап 1.1.8

Перенесем $3 A$ .

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = 3 A - 1 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 2 = 3 A - 1 B$ на $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $3 (1 - B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.4

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- 3 B$ .

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $- 2 = 3 - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 - 4 B = - 2$ .

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $- 4 B = - 5$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 4 B = - 5$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{5}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{5}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{5}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Этап 1.3.4.2.1.3

Вычтем $5$ из $4$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Этап 1.3.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{y - 1}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Этап 1.5.3

Перенесем $4$ влево от $y - 1$ .

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Этап 1.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

Этап 1.5.5

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{1}{y + 3}$ .

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Этап 5

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Этап 7

Поскольку $\frac{5}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{5}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

Этап 8

Пусть $u_{2} = y + 3$ . Тогда $d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = y + 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 8.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y + 3$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$