Математический анализ Примеры

$y = \tan (\sqrt{5 t})$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 t}$ в виде ${(5 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.3

Применим правило умножения к $5 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \tan (t)$ и $g (t) = 5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $t$ , производная $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ равна $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 10

Объединим $5^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 11

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Объединим $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$