Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \cos (7 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \cos (7 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{7} \sin (7 x)) - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $\sin (7 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{\sin (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{7} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{7} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - (\frac{1}{7} \cdot 2 \int \sin (7 x) (x) d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{7}$ и $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} \int \sin (7 x) (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (7 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{1}{7} \cos (7 x)) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\cos (7 x)$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{\cos (7 x)}{7}) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

Этап 6.3

Объединим $\cos (7 x)$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - - \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + 1 \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Этап 8.2

Умножим $\int \frac{\cos (7 x)}{7} d x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (7 x) d x)$

Этап 10

Пусть $u = 7 x$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (u) \frac{1}{7} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \frac{\cos (u)}{7} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int \cos (u) d u))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7 \cdot 7} \int \cos (u) d u)$

Этап 13.2

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} \int \cos (u) d u)$

Этап 14

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем $\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$ в виде $\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Этап 15.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{7} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Этап 15.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{7}$ и $\sin (7 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Этап 15.2.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x}{7} \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Этап 15.2.4

Объединим $\cos (7 x)$ и $\frac{x}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

Этап 15.2.5

Объединим $\frac{1}{49}$ и $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) + C$

Этап 15.2.6

Чтобы записать $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot \frac{7}{7} + C$

Этап 15.2.7

Объединим $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} + \frac{- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

Этап 15.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

Этап 15.2.9

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 7 (\frac{2}{7}) (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 15.2.10

Объединим $- 7$ и $\frac{2}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 7 \cdot 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 15.2.11

Умножим $- 7$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 14}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 15.2.12

Сократим общий множитель $- 14$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.12.1

Вынесем множитель $7$ из $- 14$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 15.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.12.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 (1)} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 15.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 15.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 15.2.12.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $7 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (7 x) x}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

Этап 17.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7}) - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.2

Умножим $- 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + 2 \frac{x \cos (7 x)}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.2.2

Объединим $2$ и $\frac{x \cos (7 x)}{7}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (7 x)}{49}$ .

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} + \frac{- 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 x \cos (7 x)}{7} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.5

Чтобы записать $x^{2} \sin (7 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{49}{49}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + x^{2} \sin (7 x) \cdot \frac{49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.6

Объединим $x^{2} \sin (7 x)$ и $\frac{49}{49}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.8

Чтобы записать $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $49$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.9.1

Умножим $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.9.2

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{49} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.11

Перепишем $\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.11.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.2.11.2

Перенесем $49$ влево от $x^{2} \sin (7 x)$ .

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

Этап 17.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7} + C$

Этап 17.4

Умножим $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Умножим $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49 \cdot 7} + C$

Этап 17.4.2

Умножим $49$ на $7$ .

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{343} + C$

Этап 17.5

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{343} (14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)) + C$