Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{8 - 3 x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ положительно.

$\int \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$\int \sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{1} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\int \sqrt{4 \cdot 2 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.5

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.8

Объединим $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ и $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.9.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6} \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.9.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{6} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.9.3

Применим правило умножения к $2 \sqrt{6}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.10.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{1} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.2.5

Найдем экспоненту.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.10.3

Умножим $4$ на $6$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.12.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\int \sqrt{8 + 3 (- 1) \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.12.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.12.3

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.12.4

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.13

Сократим общий множитель $24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.13.1

Вынесем множитель $3$ из $24 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 (1)}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{8 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.13.2.4

Разделим $8 \sin^{2} (t)$ на $1$ .

$\int \sqrt{8 - 1 (8 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.1.14

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\int \sqrt{8 - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\int \sqrt{8 (1) - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $8$ из $- 8 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $8$ из $8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{8 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{8 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $8 \cos^{2} (t)$ в виде ${(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\int \sqrt{4 (2) \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.6.3

Перенесем $2$ .

$\int \sqrt{2^{2} \cos^{2} (t) \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.6.4

Перепишем $2^{2} \cos^{2} (t)$ в виде ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\int 2 \cos (t) \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ и $2$ .

$\int \frac{2 \sqrt{6} \cos (t) \cdot 2}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ и $\cos (t)$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t) \cos (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Этап 2.2.4

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Этап 2.2.5

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Этап 2.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{4 \sqrt{6} {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} \sqrt{2} d t$

Этап 2.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3}$ и $\sqrt{2}$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t) \sqrt{2}}{3} d t$

Этап 2.2.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int \frac{4 \sqrt{2 \cdot 6} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Этап 2.2.10

Умножим $2$ на $6$ .

$\int \frac{4 \sqrt{12} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{12}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 (3)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 13

Упростим.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 14.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}))) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))) + C$

Этап 15.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}))) + C$

Этап 15.1.2.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}))) + C$

Этап 15.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}))) + C$

Этап 15.1.2.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}))) + C$

Этап 15.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}))) + C$

Этап 15.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}))) + C$

Этап 15.1.2.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Этап 15.1.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Этап 15.1.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Этап 15.1.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Этап 15.1.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}))) + C$

Этап 15.1.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Этап 15.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Этап 15.1.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2}))) + C$

Этап 15.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))) + C$

Этап 15.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2}) + C$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ и $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Этап 15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Этап 15.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Этап 15.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})) + C$

Этап 15.5

Объединим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ и $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Этап 16.5

Изменим порядок членов.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x)) + C$