Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{x} (6 - x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 6 - x$ и $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 1 d x$

Этап 2.3

Объединим $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{3} d x$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 4.2

Умножим $\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ на $1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Этап 7.2.4

Умножим $3$ на $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.5

Чтобы записать $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Умножим $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.6.2

Умножим $3$ на $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.8

Умножим $5$ на $- 2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.9

Добавим $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ и $4 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.2.10

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Этап 7.2.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + C$

Этап 7.2.11.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Этап 7.2.11.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 7.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$