Математический анализ Примеры

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (t)$ и $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Этап 2

Объединим $t$ и $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Этап 3

Пусть $u = t^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = t^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 t + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $2 t$ и $0$ .

$2 t$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

Этап 3.3

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Этап 3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

Этап 3.3.5

Упростим.

$u_{lower} = x + 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

Этап 3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

Этап 3.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\arctan (t) t$ в $2 x$ и в $\sqrt{x}$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Этап 7.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $4 x^{2} + 1$ и в $x + 1$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

Этап 7.3

Избавимся от скобок.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

Этап 8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Этап 9.1.2

Объединим $\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Этап 9.2

Чтобы записать $2 \arctan (2 x) x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Этап 9.3

Объединим $2 \arctan (2 x) x$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Этап 9.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$