Математический анализ Примеры

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{\sqrt{t}} d t$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $t$ из $t - 2 t^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int \frac{t^{1} - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $t$ из $- 2 t^{8}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})$ .

$\int \frac{t (1 - 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 2.2

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int t (1 - 2 t^{7}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 2.3

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t (1 - 2 t^{7}) d t$

Этап 2.3.2

Умножим $t^{- \frac{1}{2}}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Этап 2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Этап 2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Этап 2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Этап 2.3.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Этап 3

Развернем $t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Этап 3.2

Изменим порядок $t^{\frac{1}{2}}$ и $1$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Этап 3.3

Изменим порядок $t^{\frac{1}{2}}$ и $- 2$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Этап 3.4

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7} d t$

Этап 3.6

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Этап 3.7

Объединим $7$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}} d t$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 7 \cdot 2}{2}} d t$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 14}{2}} d t$

Этап 3.9.2

Добавим $1$ и $14$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int t^{\frac{15}{2}} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{\frac{15}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{17}) t^{\frac{17}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{17}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$