Математический анализ Примеры

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

Этап 1.2

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Этап 1.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Этап 1.4

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Этап 1.5.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.7

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.9

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перенесем $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 1.9.2

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 1.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Этап 1.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$