Математический анализ Примеры

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Этап 1

Вынесем множитель $\sqrt{t}$ из $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\sqrt{t}$ из $t \sqrt{t}$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Этап 1.2

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\sqrt{t}$ из $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

Этап 2.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

Этап 2.2.3

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перенесем $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Этап 2.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Этап 2.2.3.3

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Этап 2.2.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Этап 2.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Этап 2.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Этап 2.2.3.6.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

Этап 2.2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

Этап 3

Развернем $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

Этап 3.2

Изменим порядок $t^{- \frac{3}{2}}$ и $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 3.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 3.7

Добавим $- 3$ и $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 3.8

Умножим $t^{- \frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$