Математический анализ Примеры

$\int 2 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = \sec (4 x)$ . Тогда $d u_{2} = 4 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = \sec (4 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)$

Этап 2.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4$

Этап 2.1.3.3.2

Перенесем $4$ влево от $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$4 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u_{2} + C$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Этап 4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Этап 4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} u_{2} + C$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (4 x) + C$