Математический анализ Примеры

$\int_{20}^{130} 42.07 e^{- 0.01059 t} d t$

Этап 1

Поскольку $42.07$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $42.07$ из-под знака интеграла.

$42.07 \int_{20}^{130} e^{- 0.01059 t} d t$

Этап 2

Пусть $u = - 0.01059 t$ . Тогда $d u = - 0.01059 d t$ , следовательно $\frac{1}{- 0.01059} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - 0.01059 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- 0.01059 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.01059 t]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 0.01059$ является константой относительно $t$ , производная $- 0.01059 t$ по $t$ равна $- 0.01059 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.01059 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 0.01059 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 0.01059$ на $1$ .

$- 0.01059$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = - 0.01059 t$ .

$u_{lower} = - 0.01059 \cdot 20$

Этап 2.3

Умножим $- 0.01059$ на $20$ .

$u_{lower} = - 0.2118$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = - 0.01059 t$ .

$u_{upper} = - 0.01059 \cdot 130$

Этап 2.5

Умножим $- 0.01059$ на $130$ .

$u_{upper} = - 1.3767$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 0.2118$

$u_{upper} = - 1.3767$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} \frac{1}{- 0.01059} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} (- \frac{1}{0.01059}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.01059}$ .

$42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} - \frac{e^{u}}{0.01059} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$42.07 (- \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} \frac{e^{u}}{0.01059} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $42.07$ .

$- 42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} \frac{e^{u}}{0.01059} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{0.01059}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.01059}$ из-под знака интеграла.

$- 42.07 (\frac{1}{0.01059} \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{0.01059}$ и $- 42.07$ .

$\frac{- 42.07}{0.01059} \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} d u$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{42.07}{0.01059} \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{42.07}{0.01059} e^{u}]_{- 0.2118}^{- 1.3767}$

Этап 9

Найдем значение $e^{u}$ в $- 1.3767$ и в $- 0.2118$ .

$- \frac{42.07}{0.01059} (e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим $42.07$ на $0.01059$ .

$- 1 \cdot 3972.61567516 (e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118})$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $3972.61567516$ .

$- 3972.61567516 (e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118})$

Этап 10.3

Умножим $- 3972.61567516$ на $e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118}$ .

$2211.62019019$

Этап 11