Математический анализ Примеры

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- z}$ и вынесем ее из знаменателя.

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 {(e^{- z})}^{- 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- z})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{- z \cdot - 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- z \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{1 z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $z$ на $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 3.2.2

Умножим $e^{z}$ на $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 4

Интеграл $e^{z}$ по $z$ имеет вид $e^{z}$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{3 z} d z$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - (\frac{1}{3} \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{z} d z)$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{z}$ по $z$ имеет вид $\ln (| z |)$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $e^{z}$ в $- 1$ и в $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\ln (| z |)$ в $- 1$ и в $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 20 |))$

Этап 8.1.3

Избавимся от скобок.

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 20 |))$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$

Этап 8.2.2

Объединим $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.2.3

Чтобы записать $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.2.4

Объединим $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3 - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.2.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \frac{1}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3.4

Объединим $9$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3.5

Умножим $9 (- \frac{1}{e^{20}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{\frac{9}{e} - 9 \frac{1}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3.5.2

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{| - 20 |})}{3}$

Этап 8.3.7

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 20$ и $0$ равно $20$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{9}{e} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Чтобы записать $\frac{9}{e}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} \cdot \frac{e^{19}}{e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.9.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $e^{20}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.2.1

Умножим $\frac{9}{e}$ на $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.9.2.2

Умножим $e$ на $e^{19}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.2.2.1

Умножим $e$ на $e^{19}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.2.2.1.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1} e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.9.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1 + 19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.9.2.2.2

Добавим $1$ и $19$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{20}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Этап 8.3.9.4

Чтобы записать $- \ln (\frac{1}{20})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20}) \cdot \frac{e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Этап 8.3.9.5

Объединим $- \ln (\frac{1}{20})$ и $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} + \frac{- \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Этап 8.3.9.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Этап 8.3.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 8.3.11

Умножим $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20} \cdot 3}$

Этап 8.3.12

Перенесем $3$ влево от $e^{20}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 \cdot e^{20}}$

Этап 8.3.13

Изменим порядок множителей в $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 e^{20}}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Десятичная форма:

$2.10221574 \dots$

Этап 10