Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Этап 1.1.1.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

Этап 1.1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

Этап 1.1.1.2.4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 {(x + 3)}^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3})$

Этап 1.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Этап 1.1.2.3.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Этап 1.1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Этап 1.1.2.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

Этап 1.1.2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

Этап 1.1.2.3.5.2

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 {(x + 3)}^{2}$ .

$12 {(x + 3)}^{2}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ на $12$ .

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим ${(x + 3)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = 12 {((- 6) + 3)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 6$ и $3$ .

$f'' (- 6) = 12 {(- 3)}^{2}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = 12 \cdot 9$

Этап 4.2.3

Умножим $12$ на $9$ .

$f'' (- 6) = 108$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $108$ .

$108$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (- 6)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- 3, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 12 {((0) + 3)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $0$ и $3$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 3^{2}$

Этап 5.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 9$

Этап 5.2.3

Умножим $12$ на $9$ .

$f'' (0) = 108$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $108$ .

$108$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- 3, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7