Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- \frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $2 y$ в $4$ и в $- 2$ .

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2}$ в $4$ и в $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Этап 7.3

Найдем значение $\frac{1}{3} y^{3}$ в $4$ и в $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.3

Добавим $8$ и $4$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.6

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.6.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.7

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.9

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.10

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.10.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.11

Вычтем $2$ из $8$ .

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.13

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.13.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.14

Добавим $12$ и $3$ .

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.15

Возведем $4$ в степень $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.16

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Этап 7.4.17

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Этап 7.4.18

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

Этап 7.4.19

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 7.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

Этап 7.4.21

Добавим $64$ и $8$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

Этап 7.4.22

Сократим общий множитель $72$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.22.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

Этап 7.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.22.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Этап 7.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Этап 7.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

Этап 7.4.22.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

Этап 7.4.23

Умножим $24$ на $- 1$ .

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

Этап 7.4.24

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{4}$ .

$15 + \frac{- 24}{4}$

Этап 7.4.25

Сократим общий множитель $- 24$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.25.1

Вынесем множитель $4$ из $- 24$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Этап 7.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.25.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Этап 7.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Этап 7.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$15 + \frac{- 6}{1}$

Этап 7.4.25.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$15 - 6$

Этап 7.4.26

Вычтем $6$ из $15$ .

$9$

Этап 8