Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Этап 2

Перепишем $x^{3}$ в виде ${(x^{3})}^{1}$ .

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{lower} = 1^{3}$

Этап 3.3

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{3}$ .

$u_{upper} = 3^{3}$

Этап 3.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 27$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ на $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Этап 4.3

Перенесем $3$ влево от $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 6.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 8 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $8 u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $8 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$8 + 0$

Этап 7.1.4.2

Добавим $8$ и $0$ .

$8$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $8$ на $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

Этап 7.3.2

Добавим $8$ и $1$ .

$u_{lower} = 9$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $8$ на $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

Этап 7.5.2

Добавим $216$ и $1$ .

$u_{upper} = 217$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Этап 8.2

Перенесем $8$ влево от $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

Этап 12

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $217$ и в $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $217$ равно $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

Этап 14.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $9$ равно $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Десятичная форма:

$0.79566819 \dots$

Этап 16