Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{- 3}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Этап 3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Этап 5.2

Умножим $\int \frac{1}{2 x^{3}} d x$ на $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ в виде $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

Этап 9.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}} + C$