Математический анализ Примеры

$\int 1 - \csc^{2} (2 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - \csc^{2} (2 x) d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - \csc^{2} (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - \int \csc^{2} (2 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C - \int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $\csc^{2} (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u)$

Этап 7

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

Этап 8

Упростим.

$x + \frac{\cot (u)}{2} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x + \frac{\cot (2 x)}{2} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$x + \frac{1}{2} \cot (2 x) + C$