Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.1.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $e$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 7.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.4

Чтобы записать $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7.1.3.5

Объединим $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

Этап 7.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

Этап 7.3.3

Разделим $e$ на $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

Этап 7.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

Этап 7.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

Этап 7.3.6

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Десятичная форма:

$2.19452804 \dots$

Этап 9