Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

Этап 2

Разделим $4 x^{2} - 3$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 0$ .

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Этап 2.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

Этап 2.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Этап 9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $e$ и в $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 11.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.3.3

Сократим общий множитель.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.3.4

Перепишем это выражение.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 11.3.5

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Этап 11.3.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

Этап 11.3.7

Разделим $e$ на $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

Этап 11.3.8

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

Этап 11.3.9

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3$

Этап 11.3.10

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$2 e^{2} - 5$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 e^{2} - 5$

Десятичная форма:

$9.77811219 \dots$

Этап 13