Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1 - x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\frac{1}{1 - x}}$ в виде $e^{\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})}$ .

$lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{\frac{1}{1 - x}})$ , вынося $\frac{1}{1 - x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{1 - x} \ln (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} \ln (x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{1 - x}$ и $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

Этап 3.1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$e^{\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}}$

Этап 3.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{1 - 1}}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}}$

Этап 3.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}}$

Этап 3.3.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}}$

Этап 3.3.6

Вычтем $1$ из $0$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$e^{lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}}$

Этап 3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$e^{- \frac{1}{1}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{1}{1}}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- 1}$

Этап 6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{e}$

Десятичная форма:

$0.36787944 \dots$