Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \ln (5 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (5 x)$ и $d v = 1$ .

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\ln (5 x) x$ в $e$ и в $1$ .

$(\ln (5 e) e) - \ln (5 \cdot 1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

Этап 4.2

Найдем значение $x$ в $e$ и в $1$ .

$(\ln (5 e) e) - \ln (5 \cdot 1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\ln (5 e) e - \ln (5) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (5 e) e - \ln (5) - (e - 1)$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e - - 1$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e + 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e + 1$

Десятичная форма:

$3.76546791 \dots$