Математический анализ Примеры

$\int 12 \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 \int - \sqrt[3]{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$12 (- \int \sqrt[3]{u} d u)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $12$ .

$- 12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- 12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ в виде $- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$\frac{- 36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $- 36$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 36$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2.3.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- 9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- 9 {\cos (x)}^{\frac{4}{3}} + C$