Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{120} 10 + \sqrt{t} d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{120} 10 d t + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$10 t]_{0}^{120} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $10 t]_{0}^{120}$ и $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$ .

$10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ в $120$ и в $0$ .

$(10 \cdot 120 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}}) - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $10$ на $120$ .

$1200 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $120^{\frac{3}{2}}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.3

Умножим $10$ на $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 5.2.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 5.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.2.2.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 5.2.2.8

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 0)$

Этап 5.2.2.9

Добавим $0$ и $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - 0$

Этап 5.2.2.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} + 0$

Этап 5.2.2.11

Добавим $1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $0$ .

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

Десятичная форма:

$2076.35609200 \dots$

Этап 7