Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

Этап 1

Поскольку $24$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

Этап 2

Разделим $t$ на $2 t + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t$ на член с максимальной степенью в делителе $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t + \frac{3}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

Этап 2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Этап 7

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

Этап 8

Пусть $u = 2 t + 3$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 2 t + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $2 t + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

Этап 8.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Этап 8.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

Этап 8.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

Этап 8.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 8.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t + 3$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

Этап 8.3.2

Добавим $0$ и $3$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t + 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $2$ на $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

Этап 8.5.2

Добавим $20$ и $3$ .

$u_{upper} = 23$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Этап 9.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ и $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

Этап 13.2

Перенесем $3$ влево от $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $\frac{t}{2}$ в $10$ и в $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Этап 14.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $23$ и в $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.1.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.4

Добавим $5$ и $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.5

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.6

Объединим $5$ и $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Этап 14.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Этап 14.3.8

Умножим $5$ на $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Этап 14.3.9

Объединим $24$ и $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

Этап 14.3.10

Сократим общий множитель $24$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.10.1

Вынесем множитель $4$ из $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

Этап 14.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

Этап 14.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

Этап 14.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

Этап 14.3.10.2.4

Разделим $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ на $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

Этап 15

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $23$ равно $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

Этап 16.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Этап 16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Этап 16.4

Умножим $6$ на $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Этап 16.5

Умножим $- 3$ на $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Десятичная форма:

$83.33612530 \dots$

Этап 18