Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{10} 2000 e^{0.3 t} d t$

Этап 1

Поскольку $2000$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2000$ из-под знака интеграла.

$2000 \int_{0}^{10} e^{0.3 t} d t$

Этап 2

Пусть $u = 0.3 t$ . Тогда $d u = 0.3 d t$ , следовательно $\frac{1}{0.3} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 0.3 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $0.3 t$ .

$\frac{d}{d t} [0.3 t]$

Этап 2.1.2

Поскольку $0.3$ является константой относительно $t$ , производная $0.3 t$ по $t$ равна $0.3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $0.3$ на $1$ .

$0.3$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 0.3 t$ .

$u_{lower} = 0.3 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $0.3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 0.3 t$ .

$u_{upper} = 0.3 \cdot 10$

Этап 2.5

Умножим $0.3$ на $10$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2000 \int_{0}^{3} e^{u} \frac{1}{0.3} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.3}$ .

$2000 \int_{0}^{3} \frac{e^{u}}{0.3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{0.3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.3}$ из-под знака интеграла.

$2000 (\frac{1}{0.3} \int_{0}^{3} e^{u} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{0.3}$ и $2000$ .

$\frac{2000}{0.3} \int_{0}^{3} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{2000}{0.3} e^{u}]_{0}^{3}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $e^{u}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{2000}{0.3} ((e^{3}) - e^{0})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2000}{0.3} (e^{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2000}{0.3} (e^{3} - 1)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим $2000$ на $0.3$ .

$6666.\overline{6} (e^{3} - 1)$

Этап 8.2

Умножим $6666.\overline{6}$ на $e^{3} - 1$ .

$127236.91282125$

Этап 9