Математический анализ Примеры

$y = - \frac{y}{x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{y}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = x$ .

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

Этап 3.7.2

Добавим $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ и $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ в числитель.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

Этап 5.2.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y' x^{2} = - x y' + y$

Этап 5.2.1.4

Перенесем $x$ .

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $- 1 y'$ в виде $- y'$ .

$y' x^{2} = - y' x + y$

Этап 5.3.2

Добавим $y' x$ к обеим частям уравнения.

$y' x^{2} + y' x = y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x^{2} + y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x^{2}$ .

$y' x \cdot x + y' x = y$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x$ .

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ .

$y' x (x + 1) = y$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' x (x + 1) = y$ на $x (x + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' x (x + 1) = y$ на $x (x + 1)$ .

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Этап 5.3.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$