Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{7} 4 x \cdot \sqrt[3]{x + 1} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$4 (x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Этап 3.2

Объединим $x$ и $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{3}{4}$ и ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x))$

Этап 5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Этап 5.5

Добавим $7$ и $1$ .

$u_{upper} = 8$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{4}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{3}{7}$ и $u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Этап 7.2

Объединим $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ и $\frac{3}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8} \cdot 3}{4})$

Этап 7.3

Перенесем $3$ влево от $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3 \cdot (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Этап 7.4

Чтобы записать $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Этап 7.5

Объединим $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Этап 7.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4 - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Этап 7.7

Перенесем $4$ влево от $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ .

$4 \frac{4 \cdot (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Этап 7.8

Объединим $4$ и $\frac{4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$ .

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Этап 7.9

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Этап 7.10

Разделим $4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$ на $1$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ в $7$ и в $0$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Этап 8.2

Найдем значение $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ в $8$ и в $1$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Добавим $7$ и $1$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.4.2

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.6

Умножим $3$ на $16$ .

$4 (\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.7

Умножим $7$ на $48$ .

$4 (\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.8

Сократим общий множитель $336$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Вынесем множитель $4$ из $336$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.8.2.4

Разделим $84$ на $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.9

Добавим $0$ и $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.11

Умножим $3$ на $1$ .

$4 (84 - \frac{0 \cdot 3}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.12

Умножим $0$ на $3$ .

$4 (84 - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.13

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$4 (84 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (84 - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.13.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (84 - 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.14

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (84 + 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.15

Добавим $84$ и $0$ .

$4 \cdot 84 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.16

Умножим $4$ на $84$ .

$336 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.17

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.18

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.19

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.19.1

Сократим общий множитель.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.19.2

Перепишем это выражение.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.20

Возведем $2$ в степень $7$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.21

Умножим $3$ на $128$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 8.3.22

Единица в любой степени равна единице.

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1}{7})$

Этап 8.3.23

Умножим $3$ на $1$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Этап 8.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$336 - 3 \frac{384 - 3}{7}$

Этап 8.3.25

Вычтем $3$ из $384$ .

$336 - 3 (\frac{381}{7})$

Этап 8.3.26

Объединим $- 3$ и $\frac{381}{7}$ .

$336 + \frac{- 3 \cdot 381}{7}$

Этап 8.3.27

Умножим $- 3$ на $381$ .

$336 + \frac{- 1143}{7}$

Этап 8.3.28

Вынесем знак минуса перед дробью.

$336 - \frac{1143}{7}$

Этап 8.3.29

Чтобы записать $336$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$336 \cdot \frac{7}{7} - \frac{1143}{7}$

Этап 8.3.30

Объединим $336$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{336 \cdot 7}{7} - \frac{1143}{7}$

Этап 8.3.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{336 \cdot 7 - 1143}{7}$

Этап 8.3.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.32.1

Умножим $336$ на $7$ .

$\frac{2352 - 1143}{7}$

Этап 8.3.32.2

Вычтем $1143$ из $2352$ .

$\frac{1209}{7}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1209}{7}$

Десятичная форма:

$172.71428571 \dots$

Форма смешанных чисел:

$172 \frac{5}{7}$

Этап 10