Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Этап 3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Этап 4.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Этап 4.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

Этап 7

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Этап 8.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $2 π$ и в $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Этап 9.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Этап 10.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Этап 10.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Этап 10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Этап 10.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Этап 10.7

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

Этап 10.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Этап 10.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Этап 10.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 10.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$4 + 0$

Этап 10.12

Добавим $4$ и $0$ .

$4$