Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

Этап 2

Поскольку $- c$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- c$ из-под знака интеграла.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Этап 3.2

Умножим $c$ на $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

Этап 4

Пусть $u = - \frac{x}{c}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{c} d x$ , следовательно $- c d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - \frac{x}{c}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- \frac{x}{c}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- \frac{1}{c}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{c}$ по $x$ равна $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{c}$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $c$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Этап 4.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Этап 4.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

Этап 5.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{c}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

Этап 5.3

Умножим $c$ на $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

Этап 6

Поскольку $- c$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- c$ из-под знака интеграла.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $c$ в степень $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Этап 7.2

Возведем $c$ в степень $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ в $8$ и в $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Этап 9.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- \frac{8}{c}$ и в $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Этап 9.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Этап 9.3.3

Умножим $c$ на $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Этап 9.3.4

Умножим $0$ на $e^{- \frac{0}{c}}$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Этап 9.3.5

Добавим $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ и $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Этап 9.3.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

Этап 10.2

Умножим $- c^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

Этап 10.2.2

Умножим $c^{2}$ на $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

Этап 11