Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sin (4 x)$ . Тогда $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sin (4 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Этап 1.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 2

Объединим ${u_{2}}^{6}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Этап 4

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{6}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ в $0$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{1}{7}$ на $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Этап 5.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Этап 5.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Этап 5.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Этап 5.2.6

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Этап 5.2.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0$