Математический анализ Примеры

$\int_{0.4}^{1} x^{4} \cot (x^{5}) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{5}$ . Тогда $d u = 5 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{5}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{5}$ .

$u_{lower} = {0.4}^{5}$

Этап 1.3

Возведем $0.4$ в степень $5$ .

$u_{lower} = 0.01024$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{5}$ .

$u_{upper} = 1^{5}$

Этап 1.5

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0.01024$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0.01024}^{1} \cot (u) \frac{1}{5} d u$

Этап 2

Объединим $\cot (u)$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0.01024}^{1} \frac{\cot (u)}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{0.01024}^{1} \cot (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cot (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{5} \ln (| \sin (u) |)]_{0.01024}^{1}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| \sin (u) |)$ в $1$ и в $0.01024$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.01024) |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

Десятичная форма:

$0.10663868 \dots$