Математический анализ Примеры

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

Этап 1.2

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

Этап 2.3

Умножим $4$ на $0.25$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $0.5$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{5})$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{u}{5})$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $2$ в виде $1 (2)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $5$ в виде $1 (5)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $0.20135792$ .

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

Этап 7.1.4

Вычтем $0.20135792$ из $0.41151684$ .

$\frac{0.21015892}{4}$

Этап 7.2

Разделим $0.21015892$ на $4$ .

$0.05253973$

Этап 8