Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[0, 4]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Этап 1.1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{3} \geq 0$

Этап 1.1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 1.1.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 1.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.1.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq 0$

Этап 1.1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 1.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.8

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.9

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.10

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.11

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.12

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Этап 2.1.1.3.2

Добавим $x^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[0, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[0, 4]$ , найдем область определения $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt{x^{1}}$

Этап 2.2.1.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\sqrt{x}$

Этап 2.2.1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[0, 4]$ , поскольку производная является непрерывной на $[0, 4]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[0, 4]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[0, 4]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.2

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.8

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.9

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.10

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.11

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.12

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $x^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 6.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 6.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 6.1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 6.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $4$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 6.1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Этап 6.1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Этап 6.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Этап 6.4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $5$ и в $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$6.78689325 \dots$

Этап 8