Математический анализ Примеры

f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ ,

[0, 4]

$[0, 4]$

Этап 1

Проверим непрерывность

f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке

[0, 4]

$[0, 4]$ , найдем область определения

f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило

x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Этап 1.1.2

Зададим подкоренное выражение в

\sqrt{x^{3}}

$\sqrt{x^{3}}$ большим или равным

0

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

x^{3} \geq 0

$x^{3} \geq 0$

Этап 1.1.3

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 1.1.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

x \geq \sqrt[3]{0}

$x \geq \sqrt[3]{0}$

x \geq \sqrt[3]{0}

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 1.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Упростим

\sqrt[3]{0}

$\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1.1

Перепишем

0

$0$ в виде

0^{3}

$0^{3}$ .

x \geq \sqrt[3]{0^{3}}

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.1.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

x \geq 0

$x \geq 0$

x \geq 0

$x \geq 0$

x \geq 0

$x \geq 0$

x \geq 0

$x \geq 0$

x \geq 0

$x \geq 0$

Этап 1.1.4

Область определения ― это все значения

x

$x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

[0, \infty)

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

{x | x \geq 0}

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

[0, \infty)

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

{x | x \geq 0}

${x | x \geq 0}$

Этап 1.2

f (x)

$f (x)$ — непрерывное выражение в области

[0, 4]

$[0, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость

f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ является константой относительно

x

$x$ , производная

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ по

x

$x$ равна

\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = \frac{3}{2}

$n = \frac{3}{2}$ .

\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.3

Чтобы записать

- 1

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.4

Объединим

- 1

$- 1$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.6.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.6.2

Вычтем

2

$2$ из

3

$3$ .

\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.7

Объединим

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ и

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.8

Умножим

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ на

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.9

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.10

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.11

Сократим общий множитель.

\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2.12

Разделим

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ на

1

$1$ .

x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

x^{\frac{1}{2}} + 0

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Этап 2.1.1.3.2

Добавим

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ и

0

$0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.1.2

Первая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на

$[0, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке

$[0, 4]$ , найдем область определения

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt{x^{1}}$

Этап 2.2.1.1.2

Любое число, возведенное в степень

$1$ , является основанием.

$\sqrt{x}$

Этап 2.2.1.2

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{x}$ большим или равным

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.2.1.3

Область определения ― это все значения

$x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области

$[0, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на

$[0, 4]$ , поскольку производная является непрерывной на

$[0, 4]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке

$[0, 4]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале

$[0, 4]$ .

Этап 4

Найдем производную

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку

$\frac{2}{3}$ является константой относительно

$x$ , производная

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ по

$x$ равна

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.3

Чтобы записать

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.4

Объединим

$- 1$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.6.2

Вычтем

$2$ из

$3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.7

Объединим

$\frac{3}{2}$ и

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.8

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.9

Умножим

$3$ на

$2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.10

Умножим

$3$ на

$2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.11

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.12

Разделим

$x^{\frac{1}{2}}$ на

$1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Этап 4.3.2

Добавим

$x^{\frac{1}{2}}$ и

$0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть

$u = 1 + x$ . Тогда

$d u = d x$ . Перепишем, используя

$u$ и

$d$

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть

$u = 1 + x$ . Найдем

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Дифференцируем

$1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 6.1.1.2

По правилу суммы производная

$1 + x$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.1.3

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 6.1.1.5

Добавим

$0$ и

$1$ .

$1$

Этап 6.1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо

$x$ в

$u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 6.1.3

Добавим

$1$ и

$0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо

$x$ в

$u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Этап 6.1.5

Добавим

$1$ и

$4$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 6.1.6

Значения, найденные для

$u_{lower}$ и

$u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Этап 6.1.7

Переформулируем задачу, используя

$u$ ,

$d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Этап 6.2

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{u}$ в виде

$u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл

$u^{\frac{1}{2}}$ по

$u$ имеет вид

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Этап 6.4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Найдем значение

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в

$5$ и в

$1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим

$\frac{2}{3}$ и

$5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 6.4.2.3

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$6.78689325 \dots$

Этап 8