Математический анализ Примеры

$(3, 0)$ , $(0, 3)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 0 \cdot 3$

Этап 2.2.1.2

Умножим $0$ на $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 0^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 0}$

Этап 3.2.3

Добавим $9$ и $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9}$

Этап 3.2.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| a⃗ | = 3$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9}$

Этап 4.2.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| b⃗ | = 3$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{0}{3 \cdot 3})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (0)}{3 \cdot 3})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (0)}{3 (3)})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 3})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{0}{3})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (0)}{3})$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{0}{1})$

Этап 6.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$θ = \arccos (0)$

Этап 6.3

Точное значение $\arccos (0)$ : $90$ .

$θ = 90$