Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Этап 2

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f (x)$ в области $[- 1, 1]$ , найдем область определения $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

Этап 2.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.3

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.6

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.10

Умножим $\frac{3}{5}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.12

Добавим $3$ и $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.13

Объединим $3$ и $\frac{6}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.14

Умножим $3$ на $6$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.15

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.16

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Этап 12.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

Этап 12.2.3.18

Вычтем $1$ из $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

Этап 12.2.3.19

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

Этап 12.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 12.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 12.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

Этап 12.2.3.19.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

Этап 12.2.3.20

Умножим $- 2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

Этап 12.2.3.21

Добавим $\frac{18}{5}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

Этап 13

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

Этап 14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{9}{5}$

Этап 15