Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

Этап 1

Запишем $y = x^{2} - 3 x + 1$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

Этап 2

Найдем производную $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Этап 2.1.3.2

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 5

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 6

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Этап 12.2

Найдем значение $- 3 x$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.8

Умножим $- 3$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

Этап 12.3.9

Умножим $3$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

Этап 12.3.10

Добавим $- 6$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

Этап 12.3.11

Вычтем $6$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

Этап 13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

Этап 13.2

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

Этап 14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = - 1$

Этап 15