Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

Этап 1

Запишем $y = \sqrt{2 x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Этап 2

Найдем производную $f (x) = \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.1.3

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 2.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 2.1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.1.10

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.11.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.12

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.1.12.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $f' (x)$ в области $[2, 8]$ , найдем область определения $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

Этап 3.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

Этап 3.1.4

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

Этап 3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{1} = 0^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.4

Упростим.

$2 x = 0^{2}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 x = 0$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 4

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[2, 8]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 5

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 6

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Этап 8.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $8$ и в $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.6

Добавим $2$ и $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.7

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Этап 10.2.8

Возведем $2$ в степень $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Этап 10.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.10

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

Этап 10.2.12

Добавим $2$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $2^{\frac{1}{2}}$ из $2^{\frac{5}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Этап 11.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $2^{\frac{1}{2}}$ из $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Этап 11.3.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

Этап 11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Разделим $4$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

Этап 11.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

Этап 11.4.3

Разделим $2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Этап 11.4.4

Найдем экспоненту.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

Этап 11.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Этап 11.5

Вычтем $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

Этап 12

Вычтем $2$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

Этап 13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3}$

Этап 14