Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ , $- 1 < x < - 0$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2 x}{3} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + 3$

Этап 1.1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.1.4.2

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 1.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 3 \cdot 3}{3}$

Этап 1.1.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 + 9}{3}$

Этап 1.1.4.4.2

Добавим $2$ и $9$ .

$f' (x) = \frac{11}{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{11}{3}$ .

$\frac{11}{3}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 0]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\int_{- 1}^{0} \frac{11}{3} d x)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3} x]_{- 1}^{0})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{11}{3} x$ в $0$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} ((\frac{11}{3} \cdot 0) - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{11}{3}$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + 1 (\frac{11}{3}))$

Этап 7.2.3

Умножим $\frac{11}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + \frac{11}{3})$

Этап 7.2.4

Добавим $0$ и $\frac{11}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3})$

Этап 8

Добавим $0$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Этап 9

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = 1 \cdot \frac{11}{3}$

Этап 10

Умножим $\frac{11}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{11}{3}$

Этап 11